一笔能不能写出一个“田”字?

猜一猜，下面哪张图是一笔画不成的？

什么样的图形只用一笔就能画出来？笔既不离开纸面，也不重复。这实际上是十八世纪一个经典的数学问题：哥尼斯堡七桥问题。

七桥问题

在普鲁士的哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）有一个公园，公园里有七座桥将普雷格尔河中两个岛与与河岸连接起来。

1736年，当地居民举办了一项有意思的健身活动：在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

有许多人进行了尝试，但是都失败了。此时当时世界上最伟大的数学家欧拉刚好在这里，他敏锐的发现这里蕴藏着深刻的数学内涵，并把它称为一笔画问题。

欧拉把七座桥画作七条线段，并把问题转化为是否可以通过一笔将这个图形画出来。经过思考，欧拉认为这是不可能的。

不仅如此，欧拉还得出了哪些图形可以一笔画，哪些不能一笔画的条件。

首先，欧拉把图形中的点分为两种：如果过该点的线段有偶数条，就称为偶点；如果过该点的线段有奇数条，就称为奇点。比如下面的图形中，红色圆圈的点就是偶点，绿色圆圈的点就是奇点。

欧拉指出：如果一个图形可以一笔画，那么它的奇点个数一定是0个或者2个。

如果奇点个数是0个，那么起点和终点是同一个点，从图形中任何一点出发都可以一笔画，比如上图中左边的图形就是这样。

如果奇点个数是2个，那么只能从一个奇点出发，画到另一个奇点，才能将图形画出来，这就是上图中右边的情况。

理解这个问题其实并不难，因为：

如果一个点既不是起点也不是终点，那么线段经过该点时必然会一进一出，线段成对出现，一定是偶点。

如果起点和终点是一个点，那么该点有一条出发线段和一条结束线段，也是偶点。

如果这个点只是出发点，或者只是结束点，才可能是奇点。

所以，如果从一点出发一笔画回到这个点，图形中就不会有奇点；如果从一点出发一笔画到另一点，图形中就会有两个奇点。

比如，我们来看看“日”是否能一笔画？

由于日字腰上两个点有三条线段，因此是奇点，其余点都有两条线段，是偶点。因此日字可以一笔画，而且必须从腰上的一点出发到另一点结束。按照图中1234567的顺序，就能画出来了。

我们再来看看格尼斯堡七桥问题

在这个图形中，过A、C或D各有3条线段，是奇点；过B有5条线段，也是奇点。图中有4个奇点，因此是不能一笔画的。

对于上面的四个图，每个图奇点个数分别是：4、2、0、2，所以第一个图不能一笔画，而后面三个图可以。

说了这么多，读者是不是可以看看“田”字中有几个奇点？能不能一笔画呢？

欧拉

欧拉向圣彼得堡科学院提交《哥尼斯堡的七座桥》的论文时，只有29岁，在解答问题的同时，他开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑。

欧拉是一个天才，在数学史上的地位就像牛顿在物理学的地位一般伟大，我们在研究数学时会经常看到欧拉公式、欧拉定理、欧拉函数。他13岁进大学学习，16岁就获得了硕士学位。28岁时，由于生病，欧拉的右眼失明了。晚年时左眼也失明了。但是就在双目失明的情况下，欧拉还凭借心算解决了许多的数学问题。

他不光是数学史上里程碑式的人物，同时也是一位物理学家，为物理学的发展铺平了数学的道路。在他的一生中写出了886本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙了47年！

李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。